Kadir
New member
Eksi 1 Faktöriyel Kaçtır? Basit Görünen Sorunun Arkasındaki Matematik
Bir matematik sorusunun bu kadar kısa olup bu kadar çok tartışma çıkarabilmesi gerçekten ilginç: (-1)! kaçtır? İlk bakışta cevap sanki faktöriyel kuralını geriye doğru işletmekten ibaretmiş gibi görünüyor. Fakat biraz ilerleyince işin içine sıfıra bölme, Gamma fonksiyonu, tanım kümeleri ve matematikte bir işlemi genelleştirmenin sınırları giriyor.
Üstelik bu soru forumlarda zaman zaman “cevap 1”, “cevap sonsuz”, “tanımsız” veya “Gamma fonksiyonuyla hesaplanabilir” gibi farklı cevaplarla karşılaşılmasına neden oluyor. Peki hangisi matematiksel olarak savunulabilir?
Burada önemli olan yalnızca sonuca ulaşmak değil, hangi tanımı kullandığımızı ve o tanımın nerede geçerli olduğunu açıkça belirtmek. Konuya farklı açılardan bakabiliriz; ancak bunu erkeklerin veya kadınların doğuştan farklı düşünme biçimlerine sahip olduğu varsayımına dayandırmak doğru olmaz. Araştırmalar bireyler arasındaki çeşitliliğin bu tür kaba cinsiyet genellemelerinden çok daha karmaşık olduğunu gösterirken, matematiksel bir problemin çözümü de cinsiyete değil kullanılan tanım ve mantıksal adımlara bağlıdır.
Önce klasik faktöriyel tanımını hatırlayalım
Pozitif bir tam sayı için faktöriyel şöyle tanımlanır:
n! = n × (n−1) × (n−2) × ... × 2 × 1
Örneğin:
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
3! = 3 × 2 × 1 = 6
Ayrıca 0! = 1 kabul edilir. Bu yalnızca ezberlenmiş bir kural değildir. Kombinatorik açıdan bunun güçlü bir gerekçesi vardır: sıfır nesnenin sıralanmasının tam olarak bir yolu vardır; o da boş sıralamadır. Wolfram MathWorld de faktöriyel tanımında 0! = 1 kabulünün bu kombinatoryal yorumla uyumlu olduğunu açıklıyor. Wolfram MathWorld
Buraya kadar herhangi bir sorun yok.
Fakat şimdi şu ilişkiye bakalım:
n! = n × (n−1)!
Örneğin:
3! = 3 × 2!
Buradan:
2! = 2 × 1!
ve
1! = 1 × 0!
olur.
0! = 1 olduğundan:
1! = 1
şeklinde ilerleriz.
Peki bir adım daha geri gidersek?
0! = 0 × (−1)!
İşte kritik nokta burada ortaya çıkıyor.
Sol taraf 1 olduğuna göre teorik olarak:
1 = 0 × (−1)!
olması gerekir. Fakat sıfırla çarpılan herhangi bir sonlu sayı 0 verir. Dolayısıyla sonlu bir (−1)! değeri bu eşitliği sağlayamaz.
Dahası, buradan “o zaman (-1)! sonsuzdur” sonucu da doğrudan çıkmaz. Çünkü 0 × ∞ matematikte sıradan bir sayı işlemi değildir; ayrıca limit bağlamında bile bunun tek başına belirli bir değeri yoktur.
“Faktöriyeli geriye doğru götürürsek sonsuz çıkar” düşüncesi neden sorunlu?
Forumlarda sık karşılaşılan yaklaşım şu:
0! = 1
ve
0! = 0 × (−1)!
olduğuna göre, “1 elde etmek için (-1)! çok büyük, yani sonsuz olmalı” deniyor.
Bu sezgisel olarak anlaşılabilir bir düşünce. Fakat matematikte sezgi ile tanım aynı şey değildir.
Çünkü burada 0 ile çarpılan bir ifadenin 1 olması isteniyor. Sonlu herhangi bir sayı için:
0 × x = 0
olur.
Dolayısıyla x'in değerini büyütmek, problemi çözmez.
1 milyar da olsa sonuç 0'dır.
10^100 de olsa sonuç 0'dır.
“∞” sembolünü yazmak da problemi çözmez; çünkü sonsuzluk normal reel sayı gibi davranan bir sayı değildir.
Bu nedenle klasik faktöriyel bağıntısını geriye doğru kullanarak (-1)! için sonlu bir sayı elde edemeyiz.
Gamma fonksiyonu devreye girince cevap daha da netleşiyor
Asıl ilginç bölüm burada başlıyor.
Faktöriyel yalnızca tam sayılarda kullanılan bir işlem olarak bırakılabileceği gibi, Gamma fonksiyonu aracılığıyla daha geniş bir sayı kümesine genellenebilir:
n! = Γ(n+1)
Bu ilişki ABD Ulusal Standartlar ve Teknoloji Enstitüsü'nün (NIST) Digital Library of Mathematical Functions kaynağında da açık biçimde veriliyor. DLMF
Dolayısıyla:
(−1)! = Γ(0)
olması gerekirdi.
Peki Γ(0) nedir?
Burada cevap geliyor: Gamma fonksiyonunun 0 noktasında tanımlı sonlu bir değeri yoktur.
NIST'in Gamma fonksiyonu tanımına göre Gamma fonksiyonu negatif olmayan bölgenin dışına analitik devam ettirilebilir; ancak 0, −1, −2, ... noktalarında basit kutuplara sahiptir. DLMF
Wolfram MathWorld de aynı sonucu farklı bir açıklamayla veriyor: Gamma fonksiyonu 0, −1, −2, ... noktalarında analitik değildir ve bu noktalar fonksiyonun kutuplarıdır. Wolfram MathWorld
Dolayısıyla Gamma yaklaşımı klasik geriye doğru hesaplamayı desteklemiyor; tam tersine, neden problem çıktığını matematiksel olarak açıklıyor.
Peki “cevap sonsuz” demek tamamen yanlış mı?
Burada ince bir ayrım yapmak gerekiyor.
“(-1)! = ∞” yazmak standart anlamda doğru değildir.
Ancak Gamma fonksiyonunun x = 0'a yaklaşırken sınırsız büyümesi ile ilgili limit davranışından söz edilebilir.
Örneğin Gamma fonksiyonu 0 çevresinde bir kutba sahiptir. Bu nedenle x sıfıra belirli yönlerden yaklaşırken Gamma(x)'in büyüklüğü sınırsız hale gelebilir. Fakat bu, Gamma(0)'ın “sonsuz bir sayı” olduğu anlamına gelmez.
Matematikte:
fonksiyonun bir noktada sonsuza gitmesi
ile
fonksiyonun o noktadaki değerinin sonsuz olması
aynı ifade değildir.
Bu ayrım özellikle analiz derslerinde oldukça önemlidir.
Bir fonksiyonun belirli bir noktada kutbu olması, o noktaya bir sayı değeri atayabileceğimiz anlamına gelmez.
Bu nedenle forumdaki seçenekleri karşılaştırırsak:
İfade Matematiksel durum
(-1)! = 1 Yanlış
(-1)! = 0 Yanlış
(-1)! = −1 Yanlış
(-1)! = ∞ Standart anlamda doğru değil
(-1)! tanımsızdır Standart faktöriyel/Gamma yaklaşımında doğru
“Erkekler objektif, kadınlar duygusal bakar” yaklaşımı neden burada işe yaramıyor?
Bir matematik sorusunun bu kadar kısa olup bu kadar çok tartışma çıkarabilmesi gerçekten ilginç: (-1)! kaçtır? İlk bakışta cevap sanki faktöriyel kuralını geriye doğru işletmekten ibaretmiş gibi görünüyor. Fakat biraz ilerleyince işin içine sıfıra bölme, Gamma fonksiyonu, tanım kümeleri ve matematikte bir işlemi genelleştirmenin sınırları giriyor.
Üstelik bu soru forumlarda zaman zaman “cevap 1”, “cevap sonsuz”, “tanımsız” veya “Gamma fonksiyonuyla hesaplanabilir” gibi farklı cevaplarla karşılaşılmasına neden oluyor. Peki hangisi matematiksel olarak savunulabilir?
Burada önemli olan yalnızca sonuca ulaşmak değil, hangi tanımı kullandığımızı ve o tanımın nerede geçerli olduğunu açıkça belirtmek. Konuya farklı açılardan bakabiliriz; ancak bunu erkeklerin veya kadınların doğuştan farklı düşünme biçimlerine sahip olduğu varsayımına dayandırmak doğru olmaz. Araştırmalar bireyler arasındaki çeşitliliğin bu tür kaba cinsiyet genellemelerinden çok daha karmaşık olduğunu gösterirken, matematiksel bir problemin çözümü de cinsiyete değil kullanılan tanım ve mantıksal adımlara bağlıdır.
Önce klasik faktöriyel tanımını hatırlayalım
Pozitif bir tam sayı için faktöriyel şöyle tanımlanır:
n! = n × (n−1) × (n−2) × ... × 2 × 1
Örneğin:
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
3! = 3 × 2 × 1 = 6
Ayrıca 0! = 1 kabul edilir. Bu yalnızca ezberlenmiş bir kural değildir. Kombinatorik açıdan bunun güçlü bir gerekçesi vardır: sıfır nesnenin sıralanmasının tam olarak bir yolu vardır; o da boş sıralamadır. Wolfram MathWorld de faktöriyel tanımında 0! = 1 kabulünün bu kombinatoryal yorumla uyumlu olduğunu açıklıyor. Wolfram MathWorld
Buraya kadar herhangi bir sorun yok.
Fakat şimdi şu ilişkiye bakalım:
n! = n × (n−1)!
Örneğin:
3! = 3 × 2!
Buradan:
2! = 2 × 1!
ve
1! = 1 × 0!
olur.
0! = 1 olduğundan:
1! = 1
şeklinde ilerleriz.
Peki bir adım daha geri gidersek?
0! = 0 × (−1)!
İşte kritik nokta burada ortaya çıkıyor.
Sol taraf 1 olduğuna göre teorik olarak:
1 = 0 × (−1)!
olması gerekir. Fakat sıfırla çarpılan herhangi bir sonlu sayı 0 verir. Dolayısıyla sonlu bir (−1)! değeri bu eşitliği sağlayamaz.
Dahası, buradan “o zaman (-1)! sonsuzdur” sonucu da doğrudan çıkmaz. Çünkü 0 × ∞ matematikte sıradan bir sayı işlemi değildir; ayrıca limit bağlamında bile bunun tek başına belirli bir değeri yoktur.
“Faktöriyeli geriye doğru götürürsek sonsuz çıkar” düşüncesi neden sorunlu?
Forumlarda sık karşılaşılan yaklaşım şu:
0! = 1
ve
0! = 0 × (−1)!
olduğuna göre, “1 elde etmek için (-1)! çok büyük, yani sonsuz olmalı” deniyor.
Bu sezgisel olarak anlaşılabilir bir düşünce. Fakat matematikte sezgi ile tanım aynı şey değildir.
Çünkü burada 0 ile çarpılan bir ifadenin 1 olması isteniyor. Sonlu herhangi bir sayı için:
0 × x = 0
olur.
Dolayısıyla x'in değerini büyütmek, problemi çözmez.
1 milyar da olsa sonuç 0'dır.
10^100 de olsa sonuç 0'dır.
“∞” sembolünü yazmak da problemi çözmez; çünkü sonsuzluk normal reel sayı gibi davranan bir sayı değildir.
Bu nedenle klasik faktöriyel bağıntısını geriye doğru kullanarak (-1)! için sonlu bir sayı elde edemeyiz.
Gamma fonksiyonu devreye girince cevap daha da netleşiyor
Asıl ilginç bölüm burada başlıyor.
Faktöriyel yalnızca tam sayılarda kullanılan bir işlem olarak bırakılabileceği gibi, Gamma fonksiyonu aracılığıyla daha geniş bir sayı kümesine genellenebilir:
n! = Γ(n+1)
Bu ilişki ABD Ulusal Standartlar ve Teknoloji Enstitüsü'nün (NIST) Digital Library of Mathematical Functions kaynağında da açık biçimde veriliyor. DLMF
Dolayısıyla:
(−1)! = Γ(0)
olması gerekirdi.
Peki Γ(0) nedir?
Burada cevap geliyor: Gamma fonksiyonunun 0 noktasında tanımlı sonlu bir değeri yoktur.
NIST'in Gamma fonksiyonu tanımına göre Gamma fonksiyonu negatif olmayan bölgenin dışına analitik devam ettirilebilir; ancak 0, −1, −2, ... noktalarında basit kutuplara sahiptir. DLMF
Wolfram MathWorld de aynı sonucu farklı bir açıklamayla veriyor: Gamma fonksiyonu 0, −1, −2, ... noktalarında analitik değildir ve bu noktalar fonksiyonun kutuplarıdır. Wolfram MathWorld
Dolayısıyla Gamma yaklaşımı klasik geriye doğru hesaplamayı desteklemiyor; tam tersine, neden problem çıktığını matematiksel olarak açıklıyor.
Peki “cevap sonsuz” demek tamamen yanlış mı?
Burada ince bir ayrım yapmak gerekiyor.
“(-1)! = ∞” yazmak standart anlamda doğru değildir.
Ancak Gamma fonksiyonunun x = 0'a yaklaşırken sınırsız büyümesi ile ilgili limit davranışından söz edilebilir.
Örneğin Gamma fonksiyonu 0 çevresinde bir kutba sahiptir. Bu nedenle x sıfıra belirli yönlerden yaklaşırken Gamma(x)'in büyüklüğü sınırsız hale gelebilir. Fakat bu, Gamma(0)'ın “sonsuz bir sayı” olduğu anlamına gelmez.
Matematikte:
fonksiyonun bir noktada sonsuza gitmesi
ile
fonksiyonun o noktadaki değerinin sonsuz olması
aynı ifade değildir.
Bu ayrım özellikle analiz derslerinde oldukça önemlidir.
Bir fonksiyonun belirli bir noktada kutbu olması, o noktaya bir sayı değeri atayabileceğimiz anlamına gelmez.
Bu nedenle forumdaki seçenekleri karşılaştırırsak:
İfade Matematiksel durum
(-1)! = 1 Yanlış
(-1)! = 0 Yanlış
(-1)! = −1 Yanlış
(-1)! = ∞ Standart anlamda doğru değil
(-1)! tanımsızdır Standart faktöriyel/Gamma yaklaşımında doğru
“Erkekler objektif, kadınlar duygusal bakar” yaklaşımı neden burada işe yaramıyor?